GRADIENT, DIVERGENSI DAN CURL

GRADIENT, DIVERGENSI, DAN CURL

A.    Pendahuluan Konsep Lintasan

Pada bagian ini akan dipelajari konsep gradient, divergensi dan kurl. Sebelum mengkaji lebih dalam ketiga konsep ini, akan dijelaskan terlebih dahulu konsep lintasan atau countur. Secara notasi suatu lintasan dapat dituliskan sebagai C. sementara itu secara definitif lintasan merupakan rangkaian beberapa kurva terbuka dan mulus yang bersifat bahwa setiap kurva dalam lintasan ini sering terhubung. Kontes terhubung yang dimaksud disini adalah bahwa titik akhir kurva pertama pada lintasan ini berimpit dengan titik awal kurva kedua, titik akhir kurva kedua berimpit dengan titik awal kurva ketiga dan seterusnya. Dalam hal ini kurva-kurva dinotasikan sebagai C₁, C₂, C₃, … C_n untuk n = 1, 2, 3,…, j sehingga konsep lintasan yang dinyatakan diatas dapat dinyatakan secara matematis sebagai berikut:

      C= C₁+C₂+C₃+…+ C_n yang bersifat C_J-1=C_J

maka secara intuisi, titik awal dari lintasan C adalah titik awal dari kurva C₁. Titik akhir dari lintasan C adalah titik akhir kurva C_j. sebagai catatan penting disini adalah bahwa lintasan ini memiliki orientasi atau arah. Sehingga lintasan merupakan vektor. Karena lintasan memiliki arah, maka dijamin setiap kurva di dalam lintasan ini juga memiliki arah yang sama dengan arah lintasan.perhatikan gambar berikut:

 

Lintasan C yang dikonstruksi dari kurva-kurva Mulus Cr

Pada ilustrasi di atas diberikan tiga bentuk lintasan C. ketiga lintasan ini adalah (a) lintasan tertutup tunggal, (b) lintasan terbuka, dan (c) lintasan tertutup tidak sederhana. Ketiga lintasan ini dikonstruksi oleh kurva-kurva mulus C₁, C₂, C₃, … C_j. pada gambar 38a diberikan lintasan C yang berbentuk kurvatertutup tunggal. Dalam hal ini titik awal kurva kecil C₁ berimpit dengan titik akhir kurva C_8. Sementara pada gambar 38b disajikan lintasan C yang berbentuk kurva terbuka.  Lintasan C berbentuk kurva terbuka  ini dikonstruksi oleh kurva-kurva C₁, C₂, C_3,  dan C_4. Pada gambar 38c diberikan lintasan C yang berbentuk kurva tertutup tidak sederhana. Kurva ini bersifat memotong dirinya sendiri. Ilustrasi ini merupakan untuk hitungan integral vektor yang selalu melibatkan lintasan di dalamnya. Selanjutnya dalam setiap kasus dalam pembahasan vektor beserta lintasan yang dilaluinya, maka lintasan tertutup tunggal dan lintasan terbukalah yang selalu dipergunakan.

Selanjutnya setiap kurva pada lintasan ini disajikan dalam persamaan parametrik dengan parameter t. sehingga setiap titik awal dan titik akhir setiap kurvanya dinyatakan dalam bentuk

C_j =         , t = 

Sebagai ilustrasi diberikan suatu vektor . vektor ini dapat diwakili oleh suatu kurva tunggal c, sehingga dapat dinyatakan:

            c = 

Selanjutnya vektor  ini juga dapat dinyatakan sebagai suatu lintasan yang mempunyai titik awal di O (x_o, y_o) dan titik akhir di P (x, y). maka lintasan membuat kurva tunggal c.

Dalam hal ini titik awal dan titik akhir dari lintasan dapat dinyatakan sebagai bentuk persamaan parameter t. maka dapat dinyatakan bahwa dalam suatu lintasan penuh dari O (x_o, y_o) menuju P (x₁, y₁). Dapat dinyatakan bentuk persamaan lintasan sebagai berikut:

OP = 

Hal ini analog jika lintasan terdiri atas beberapa kurva mulus C₁, C₂, C₃,..C_n untuk n = 1, 2, 3,…, j. sehingga dapat dinyatakan

            C₁+C₂+C₃+…+ C_n= 

Selanjutnya vektor  inijuga dapat dinyatakan sebagai suatu lintasan yang mempunyai titik awal di O (x_o, y_o) dan titik akhir di P (x₁, y₁).

Dalam hal ini titik awal dan titik akhir dari setiap kurva pada lintasan dapat dinyatakan sebagai bentuk persamaan parameter t. maka dapat dinyatakan bahwa dalam satu lintasan penuh dari O (x_o, y_o) menuju P (x₁, y₁) dapat dinyatakan bentuk persamaan lintasan  sebagai berikut:

Sebagai catatan penting disini bahwa t= [a, b], maksudnya jika terdapat interval.

t₀ = a <t₁<t₂<t₃<… <t_j-1 < t_j. bagian ini hanya bersifat ilustrasi umum saja dari suatu lintasan yang berbentuk vektor. Pembahasan lebih lengkap dan beberapa aplikasi permasalahan nyata akan disajikan pada bab selanjutnya tentang integral vektor.

Selanjutnya jika suatu lintasan  ini dikenakan suatu fungsi vektor v yang mengakibatkan partikel bergerak dengan aturan tertentu, maka menurut konsep fisika menyatakan bahwa turunan pertama pada suatu fungsi vektor ini akan merepresentasikan suatu kecepatan. Seperti  telah dinyatakan dalam konsep medan vektor, jika terdapat suatu titik yang bergerak akibat dikenai suatu fungsi vektor tertentu, maka dalam daerah di sekitar titik tersebut telah terbentuk suatu medan vektor. Pembahasan tentang medan vektor ini dapat dilihat kembali pada bab terdahulu.

Dalam bagian ini diilustrasikan terjadinya medan vektor pada fenomena suatu fluida yang berjenis cairan, misalnya air. Cairan yang bergerak atau air yang mengalir memberi gambaran yang jelas mengenai medan vektor. Di setiap titik dalam air terdapat vektor kecepatan v, yang merupakan kecepatan dari partikel air berlokasi di titik tersebut. Untuk setiap titik dalam cairan terdapat vektor kecepatan dan keseluruhannya membentuk medan vektor. Medan vektor ini dapat berubah terhadap waktu. Selanjutnya jika sebuah medan  vektor yang telah didefinisikan tidak bergantung pada waktu disebut medan vektor stasioner atau keadaan tunak (steady state). Sehingga jika medan vektor tetap (steady state) dalam daerah yang berisi cairan ini, maka dapat dikatakan bahwa air dalam kondisi yang tenang.

Vektor v yang membentuk medan vektor dapat merupakan fungsi dari x, y dan z. hal ini hanya tergantung didefinisikan dimana suatu daerah D tertentu yang dikenai suatu fungsi vektor sehingga memuat medan vektor. Daerah di sini di definisikan di bidang maupun di ruang. Telah dikenal bahwa terdapat ruang yang secara matematis didefinisikan sebagai R”, dengan n = 2,3,… sehingga jika suatu daerah tiga dimensi dikenai suatu fungsi vektor, maka fungsi vektor (v) yang terjadi dapat didefinisikan sebagai v (x, y, z). hal yang sama juga berlaku jika fungsi vektor v didefinisikan dibidang. Karena didefinisikan dibidang, maka tardapat fungsi vektor  v (x, y). dalam hal ini maka vektor v dapat dinyatakan dalam komponennya terhadap kordinat-kordinat tegak lurusnya sebagai berikut:

            V = v_x (x, y, z) I + v_y (x, y, z) j + v_z (x, y, z) k        

Konsep notasi vektor terhadap kordinat-kordinat tegak lurusnya dapat dilihat kembali pada bab terdahulu.

Setelah lengkap konsep lintasan dan medan vektor, maka dalam bagian ini siap dipelajari konsep gradient, divergensi, dan curl. Ketiga konsep ini sangat penting, mengingat dalam kenyataannya perubahan fungsi v tidak hanya cukup dikerjakan dengan turunan parsial terhadap variable-variabelnya saja. Dalam hal ini ternyata perubahan fungsi v juga memerlukan kombinasi dari divergensi dan curl.

Sebagai gambaran umum, bahwa pada setiap titik dari suatu medan vektor ternyata dapat dikaitkan suatu skalar ataupun suatu vektor. Jika pada setiap titik dari suatu medan vektor dapat dikaitkan suatu scalar maka dapat didefinisikan suatu divergensi, yang dinotasikan sebagai  di v. selanjutnya jika suatu medan vektor dapat dikaitkan suatu vektor maka dapat didefinisikan suatu curl/ rotasi. Curl ini dinotasikan sebagai curl v. pada bagian ini akan diberikan konsep gradient, divergensi dan curl sevara lengkap disertai dengan beberapa contoh yang bersesuaian.

B.     Gradient V

Pada bagian inikita akan dibahas konsep gradien dengan berangkat dari definisi berikut.

Definisi: Gradien dari fungsi z = f(x,y) dinotasikan sebagai grad z atau grad f didefinisikan sebagai:

grad z = i +  j

Dalam notasi fungsi dinyatakan sebagai berikut:

            Grad z = f_x (a,b) i + f_y (a,b) j          
 

 Kita ingat kembali bahwa operator diferensial vector didefinisikan sebagai:

 = i +  j + k

Dalam hal ini vector operator  (dibaca Del) memiliki sifat-sifat yang analog dengan vector-vektor biasa. Dengan sendirinya  akan memiliki nilai jika diterapkan pada fungsi f tertentu, sejingga

 = i +  j + k

Perhatikan bahwa f mendefiniskan sebuah medan vector. Komponen dari dalam arah sebuah vector satuan a diberikan oleh . a dan disebut turunan berarah f dalam arah a. secara fisis, ini adalah laju perubahan f pada (x,y,z) dalam arah a. berikut diberikan secara teorema yang mendukung.

Terorema : misalkan diberikan z = f (x,y) adalah kurva mulus intercal (a,b). maka untuk suatu vektir satuan u = cos α i + cos α j turunan berarah f_u (a,b) ada dan berlaku:

f_u (a,b) = u . grad f =  cos α +  cos β

bukti :

akan ditunjukkan eksistensi teorema tersebut. Karena u = cos  i + cos  j, maka dengan menyatakan x, y dan z dalam variabel t, maka diperoleh persamaan parametrik x = a + t cos , y = b + cos , dan z = f (a+ t cos , b + t cos ) selanjutnya dengan aturan rantai diperoleh:

Maka terbuktilah teorema di atas.

Teorema diatas juga berlaku untuk fungsi tiga variabel w = f (x,y,z) dan     u = cos  i + cos  j + cos  k. artinya

sebagai ilustrasi, misalkan diberikan fungsi f (x,y) = x²y + ½ x³ dan vektor satuan U = 2i + 4j. Untuk menentukan turunan fungsi f yang searah vektor U, maka harus terlebih dahulu ditentukan turunan-turunan parsial f, maka:

f_x = 2xy + 3/2 x² dan f^­­_y = x²

selanjutnya grad f = f_x(x,y)i + f_y(x,y)j = (2xy + 3/2 x²)i = x²j, sehingga turunan fungsi f yang searah vektor P dinyatakan sebagai:

F_u(x,y) = U . grad f = (2i + 4j) . ((2xy + 3/2 x²)i + x² )

= (2,4) . (2xy + 3/2 x², x²)

= 4xy + 3 x² + 4 x²

= 4xy + 7 x²

 Kita dapat menggunakan teorema tersebut diatas untuk memberikan interpretasi secara geometrik dari suatu gradient vektor. Misalkan diasumsikan    f (x,y) adalah mulus di titik (a,b). Dalam hal ini akan dipandang dua kasus.

Kasus I         : jika f_x (x,y) dan f_y (x,y) kedua-duanya sama dengan nol mengakibatkan grad f dan f_u (x,y) kedua-duanya juga sama dengan nol.

Kasus II        : jika f_x(x,y) dan f_y (x,y) tidak kedua-duanya sama dengan nol mengakibatkan grad f ' " 0. Sehingga berlaku

f_u= u . grad f = |grad f| cos ө

dalam hal ini ө adalah sudut antara u dan  grad f. Maka f_u akan maksimum jika cos ө = 1, akan minimum jika cos ө = -1, dan akan bernilai nol jika cos ө = 0.

Beberapa akibat langsung dari teorema di atas adalah:

(1)   Jika z = f(x,y) adalah kurva mulus dan grad f ' " 0 di (a,b). Maka panjang grad f adalah sama dengan panjang / besar euclidis dari turunan parsial berarah fungsi f. Begitu pula arah grad f adalah sama dengan arah dari resultan turunan-turunan parsial berarah fungsi f.

(2)   Jika z = f (x,y) adalah kurva mulus dan  0 di titik (a,b), maka grad f adalah normal terhadap level kurva di titik (a,b). Yaitu grad f adalah normal terhadap garis singgung dari level kurva.

Untuk menunjukkan akibat (1), maka sebagai contoh jika diberikan fungsi dua variabel f(x,y) = x²y + 1/2 x³ seperti ilustrasi dari teorema di atas. Maka dapat dinyatakan bahwa grad f = f_x(x,y)i + f_y(x,y)j = (2xy + 3/2 x² )i + x² j

Jika didefinisikan suatu titik Q(l,2), imaka grad f(l,2) = 11/2 i + j. Artinya

Maka dapat ditunjukkan bahwa lgrad/(l,2)l = T^¹"¹"-^-

Begitu pula arah dari vektor gradien/adalah arah dari resultan turunan-turunan berarah fungsi /.

Selanjutnya akan ditunjukkan akibat (2). Jika z = f(x,y) adalah kurva mulus berarah dan didefinisikan titik (a,b pada kurva ini sedemikian sehingga berkoresponder-dengan f(a,b). Selanjutnya dapat ditenrukan garis singgur.e kurva di titik (a,b), yang memenuhi persamaan:

Selanjutnya misalkan P(x_0/y₀) adalah suatu titik pada garis singgung kurva yang memenuhi persamaan di atas. Artinya dapat didefinisikan vektor berarah P pada garis singgung kurva tersebut yang searah dengan garis singgung kurva. Dalam hal ini vektor P dapat dinyatakan dalam bentuk:

P = (x₀-a)i ₊ (y₀-b)j

dan

P . grad f = 0

Yaitu:

• Tweet
• Share
• Share
• Share
• Share