MAKALAH
ARITMETIKA MESIR KUNO
OLEH
1. RACHMA WANTHY (11116A0019)
2. NURUL HIDAYAH (11116A0017)
3. I GUSTI AYU ARINI (11116A0010)
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MATARAM
2012
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmatnya kepada kita semua, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “Aritmetika Mesir Kuno” ini tepat pada waktunya.
Pada kesempatan ini tidak lupa pula penulis meyampaikan banyak terima kasih kepada dosen pengampu mata kuliah yang telah membimbing dalam menyelesaikan makalah ini. Penulis menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini masih banyak kekurangan, untuk itu diharapkan saran dan keritik dari para pembaca yang sifatnya membangun untuk kesampurnaan makalah berikutnya.
Wassalam
Penulis
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ......................................................................................
KATA PENGANTAR ....................................................................................
DAFTAR ISI ..................................................................................................
BAB I PENDAHULUAN ..............................................................................
A. Latar belakang .....................................................................................
B. Rumusan masalah .........................................................................................
BAB II PEMBAHASAN ...............................................................................
A. FKJFKJ................................................................................................
B. FJKDSFP.............................................................................................
BAB III PENUTUP ........................................................................................
A. Kesimpulan ..........................................................................................
B. Saran-saran ..........................................................................................
DAFTAR PUSTAKA .....................................................................................
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Bangsa Indonesia sekarang ini sedang dihadapkan pada krisis multi dimensi yang berkepanjangan, seperti krisis ekonomi, krisis moneter, dan krisis keamanan. Namun krisis yang paling menghawatirkan kita saat ini dari krisis-krisis yang ada adalah krisis moral dan kepribadian. Untuk menghadapi krisis tersebut tidak cukup dengan hanya mengandalkan lembaga pendidikan formal saja akan tetapi semua pihak memiliki tanggung jawab untuk membentuk kepribadian yang luhur.
Pendidikan merupakan kegiatan menyiapkan masa depan suatu bangsa yang bukan hanya harus bertahan agar teap eksis, tetapi dalam berbagai dimensi kehidupan pada tataran nasional maupun internasional dapat mengambil peran secara bermartabat. Pada hakikatnya pendidikan merupakan bantuan pendidik terhadap peserta didik dalam bentuk bimbingan, arahan, pembelajaran, pemodelan, latihan, melaliu penerapan berbagai strategi pembelajaran yang mendidik. Pendidikan berlangsung dalam ruang dan waktu yang dipengaruhi oleh lingkungan fisik, social, dan psikologis.
Pendidikan adalah usaha sadar dan terencana untuk mewujudkan suasana belajar dan proses pembelajaran agar peserta didik secara aktif mengembangkan potensi dirinya untuk memiliki kekuatan spiritual keagamaan, pengendalian diri, kepribadian, kecerdasan, akjlak mulia, serta keterampilan yang diperlukan dirinya, masyarakat, bangsa dan Negara.
Bidang studi Agama Islam sebagai bagian integral dari proses pendidikan secara keseluruhan. Pembelajaran Agama Islam di dunia pendidikan mempunyai peran yang penting dan unik di banding bidang studi lain, karena melalui Agama Islam selain dapat digunakan untuk pengembangan aspek jasmani dan rohani, juga ikut berperan dalam pengembangan aspek kognitif dan afektif secara serasi dan seimbang.
BAB II
PEMBAHASAN
A. ARITMETIKA MESIR KUNO
1. Perkalian Awal Bangsa Mesir
Matematika Mesir pada dasarnya “bersifat pernjumlahan” artinya bahwa kecendrungan matematikanya adalah menurunkan perkalian dan pembagian menjadi penjumlahan berulang. Perkalian dari dua bilangan dapat diselesaikan dengan cara menggandakan secara berurutan salah satu dari bilangan tersebut dan kemudian menambahkan pengulangan yang sesuai untuk memperoleh hasilkalinya. Untuk mencari hasil kali 19 dan 71, misalnya, kita asumsikan multiplikan (bilangan yang akan dikalikan) adalah 71, dengan cara menggandakan bilangan itu (mengalikannya dengan dua) diperoleh:
1 71
2 142
3 268
4 568
5 1136
Kita berhenti menggandakannya samapai sini, karena jika langkah tersebut dilanjutkan maka pengali yang muncul selanjutnya untuk 71 akan lebih besar dari 19. Karena 19 = 1 + 2 + 16, kita dapat tulis tanda ‘cek’ di kiri pengali-pengali ini untuk menunjukkan bahwa pengali-pengali itu harus dijumlahkan. Persoalan 19 kali 71 tersebut akan tampak seperti ini.
dengan menambahkan bilangan-bilangan tersebut pada kolom bagian kanan yang berseberangan dengan tanda cek, matematikawan Mesir akan memperoleh hasil yang dibutuhkan, 1349, yang jika diuraikan akan tampak seperti berikut ini:
1349 = 71 + 142 + 1136 = (1 + 2 + 16) = 19 + 71
Dengan memilih 19 sebagai multiplikan dam 71 sebagai pengalinya, maka uraian perkalian tersebut dapat disusun sebagai berikut.
Karena 71 = 1 + 2 + 4 + 64 maka hal yang sama dilakukan utuk memperoleh 1349 melelui perkalian 19.
Metode pengalian dengan cara menggandakan dan menjumlahkan dapat bekerja dengan baik karena setiap bilangan bulat (positif) dapat ditunjukkan sebagai jumlah pangkat berbeda dari 2; yaitu, seperti jumlah suku-suku dari barisan, 1, 2, 4, 8, 16, 32, … Tampaknya bukan orang-orang mesir kuno yang sebenarna membuktikan fakta ini, tetapi kepercayaan dalam diri merekalah yang mungkin menetapkan hal tersebut melalui bermacam-macam contoh. Skema penggandaan dan pembagi-duaan terkadang disebut sebagai perkalian Russia karena banyak digunakan oleh para petani Russia. Keuntungan yang tampak jika adalah bahwa perkalian tersebut menjadikan tabel-tabel pengingat perkalian menjadi tidak penting.
Pembagian yang dilakukan oleh bangsa Mesir dapat dijelaskan sebagai proses perkalian yang dibalikkan-di mana pembaginya digunakan secara berulang untuk memperoleh hasilbaginya. Untuk membagi 91 oleh 7, misalnya, sebuah bilangan x digunakan sehingga 7x = 91. Ini diperoleh dengan cara menggandakan 7 hingga jumlah 91 dicapai; langkah-langkahnya ditunjukkan berikut ini.
Dengan mengetahui bahwa 7 + 28 + 56 = 91, salah satu bilangannya ditambahkan pangkat 2 agar berkorespondensi dengan bilangan-bilangan yang ditandai, yaitu 1 + 4 + 8 = 13, yang memberikan kuosien (pembagi) yang dibutuhkan. Prosedur pembagian Mesir memiliki keuntungan pedagogis karena tidak membutuhkan operasi yang baru.
Pembagian tidak selalu sederhana seperti yang ditunjukkan oleh contoh yang diberikan diatas, dan pecahan-pecahan sering kali harus diikutsertakan dalam prosesnya. Untuk membagi, misalnya 35 oleh 8, seorang penulis akan memulai dengan menggandakan pembaginya, 8, sampai pada titik di mana duplikasi berikutnya akan lebih besar dari dividen (bilangan yang dibaginya), 35. Selanjutnya dia akan mulai membagi dua pembaginya untuk melengkapi sisanya. Perhitungannya akan tampak seperti ini.
Dengan menggandakan 16 akan kita peroleh 32, sehingga nilai yang hilang adalah 35 – 32 = 3. Salah satunya membutuhkan setengah dari 8 untuk mendapatkan4, kemudian setengah dari 4 untuk memperoleh 2, dan akhirnya setengah dari nilai ini untuk samapai pada nilai 1; ketika seperempat dan seperdelapan dijumlahkan, maka 3 yang dibutuhkan telah didapatkan. Dengan demikian, hasilbaginya adalah 4 + 
+ 
+
Pada contoh lainnnya, pembagian 16 oleh 3 mungkin dihasilkan sebgai berikut.
Jumlah dari masukan-masukan pada kolom bagian kiri yang berkorespondensi dengan bilangan-bilangan yang ditandai memberikan hasilbaginya yaitu 5 + 
. Merupakan hal yang luar biasa bahwa untuk memperoleh nilai sepertiga dari sebuah bilangan, orang-orang mesir pertama-tama akan mencari dua pertiga dari bilangan tersebut dan kemudian mengambil setengah bilangan dari hasil tersebut. Hal ini diilustrasikan dalam lebih dari satu lusin permasalahan yang berkaitan dengan Papirus Rhind.
. Merupakan hal yang luar biasa bahwa untuk memperoleh nilai sepertiga dari sebuah bilangan, orang-orang mesir pertama-tama akan mencari dua pertiga dari bilangan tersebut dan kemudian mengambil setengah bilangan dari hasil tersebut. Hal ini diilustrasikan dalam lebih dari satu lusin permasalahan yang berkaitan dengan Papirus Rhind.
Ketika matematikawan Mesir berkeinginan untuk menghitung dengan menggunakan pecahan, maka dia berhadapan dengan berbagai kesulitan yang muncul karena penolakannya atas penggunaan pecah seperti 
. Praktek penghitungan yang dia lakukan memungkinkan dirinya hanya untuk menggunkan apa yang disebut sebagai pecahan-pecahan satuan; yaitu, pecahan-pecahan dengan buruk 
, di mana n adalah bilangan asli. Orang-orang mesir menunjukkan sebuah pecahan satuan dengan cara menempatkan bentuk oval memanjang diatas huruf hieroglif yang mewakili bilangan bulat yang muncul pada penyebutnya, sehingga ditulis atau 
dituliskan sebagai 9 dengan pengecualian 
, yang menggunakan symbol khusus semua pecahan lainnya harus menjadi jumlah-jumlah pecahan satuan, yang masing-masingnya memiliki penyebut yang berbeda. Dengan demikian, 
akan ditulis sebagai
. Praktek penghitungan yang dia lakukan memungkinkan dirinya hanya untuk menggunkan apa yang disebut sebagai pecahan-pecahan satuan; yaitu, pecahan-pecahan dengan buruk , di mana n adalah bilangan asli. Orang-orang mesir menunjukkan sebuah pecahan satuan dengan cara menempatkan bentuk oval memanjang diatas huruf hieroglif yang mewakili bilangan bulat yang muncul pada penyebutnya, sehingga ditulis atau dituliskan sebagai 9 dengan pengecualian , yang menggunakan symbol khusus semua pecahan lainnya harus menjadi jumlah-jumlah pecahan satuan, yang masing-masingnya memiliki penyebut yang berbeda. Dengan demikian, akan ditulis sebagai
Tatapo orang-orang mesir kuno akan menganggap penulisan itu mustahil sekaligus bertentangan. Dalam pendangan mereka terdapat satu dan hanya satu bagian yang dapat menjadi sepertujuh dai apapun. Penulis zaman kuno mungkin menemukan pecahan satuan yang ekuivalen dengan dengan menggunakan konvensional 6 dan 7 berikut ini.
n dengan menggunakan konvensional 6 dan 7 berikut ini.
2. Tabel Pecahan Satuan
Untuk membantu perubahan ke dalam pecahan-pecahan satuan, banyak table refrensi harus tersedia, yang paling sederhana tanpa ragu lagi adalah penggunaan ingatan kita. Pada bagian awal Paprius Rhind terdapat sebuah table yang memuat uraian dari pecahan-pecahan dengtan pembilang 2 dan penyebutnya adalah sebuah bilangan ganjil antara 5 dan 101. Table ini, yang menghabiskan sekitar sepertiga dari keseluruhan gulungan yang panjangnya 18 kaki, adalah table-tabel aritmetika paling ekstensif yang ditemukan di antara kumpulan papyrus bangsa Mesir kuno yang berhasil kita pelajari. Penulisnya pertama-tama menyatakan tentang penguraian seperti apa dari 
yang telah dia pilih; melalui perkalian biasa, dia membuktikan bahwa pemilihan nilai-nilai yang dia lakukan adalah benar. Cara yang digunakannya adalah dengan mengalikan simbol yang terpilih dengan bilangan ganjil n agar menghasilkan 2.
yang telah dia pilih; melalui perkalian biasa, dia membuktikan bahwa pemilihan nilai-nilai yang dia lakukan adalah benar. Cara yang digunakannya adalah dengan mengalikan simbol yang terpilih dengan bilangan ganjil n agar menghasilkan 2.
Pecahan-pecahan yang penyebut-penyebutnya habis dibagi 3 semuanya mengikuti aturan umum
yang penyebut-penyebutnya habis dibagi 3 semuanya mengikuti aturan umum
= 
+ 
Ciri khas dari masukan-masukan ini adalah 
(kasusnya adalah k = 5), yang ditunjukkan sebagai berikut.
(kasusnya adalah k = 5), yang ditunjukkan sebagai berikut. = 
+ 
Jika kita abaikan representasi untuk pecahan-pecahan dengan bentuk maka sisa dari table dapat Anda baca seperti berikut ini
maka sisa dari table dapat Anda baca seperti berikut ini
Sejak terjemahan pertama dari papirus tersebut muncul, para matematikawan telah mencoba untuk menjelaskan metode apa yang digunakan penulisnya untuk mempersiapkan tabel tersebut. Dari banyak pengurangan yang mungkin terhadap pecahan-pecahan satuan, mengapa?
Tidak ada aturan jelas yang berhasil ditemukan untuk memberikan semua hasil tabel tersebut.
Masukan terakhir dalam tabel tersebut, di mana 2 dibagi oleh 101, ditunjukkan sebagai
= 
+ 
+ 
+ 
Inilah satu-satunya penguraian yang mungkin untuk menjadi tidak lebih dari empat pecahan satuan yang berbeda dengan semua penyebut yang kurang dari 1000; dan ini merupakan kasus khusus dari rumus umum
menjadi tidak lebih dari empat pecahan satuan yang berbeda dengan semua penyebut yang kurang dari 1000; dan ini merupakan kasus khusus dari rumus umum = + 
+ 
+ 
Dengan rumus di atas ini, menjadi hal yang mungkin bagi kita untuk menghasilkan keseluruhan tabel baru yang memuat seluruh lambang bersuku empat:
baru yang memuat seluruh lambang bersuku empat: = + 
+ 
+ 
= 
+ + 
+ 
= 
+ 
+ 
+ 
= 
+ + 
+ 
Meski penulis tabel ini dianggap sadar akan hal ini, dia sendiri tidak begitu menerima nilai-nilai untuk tabel ini (kecuali pada kasus terakhir,
), karena begitu banyak yang lainnya, representasi yang "lebih sederhana" pun tersedia. Bagi pemikiran modern tampak bahwa penulis tersebut mengikuti prinsip-prinsip tertentu dalam menyusun daftar-daftar tabelnya. Kami mencatat bahwa:
), karena begitu banyak yang lainnya, representasi yang "lebih sederhana" pun tersedia. Bagi pemikiran modern tampak bahwa penulis tersebut mengikuti prinsip-prinsip tertentu dalam menyusun daftar-daftar tabelnya. Kami mencatat bahwa:
a. Penyebut-penyebut yang kecil lebih baik digunakan, tanpa ada yang lebih dari 1000.
b. Semakin sedikit pecahan-pecahan satuan maka akan semakin baik; dan tidak pernah akan lebih dari empat pecahan satuan yang digunakan.
c. Penyebut-penyebut yang bernilai genap lebih diinginkan daripada penyebut-penyebut yang bernilai ganjil, terutama untuk suku awalnya.
d. Penyebut-penyebut yang lebih kecil muncul lebih dulu, dan tidak ada dua penyebut yang sama.
e. Penyebut pertama yang kecil boleh diperbesar jika besar penyebut-penyebut yang lainnya seiring itu diperkecil (misalnya, 
= 
+ 
+ 
lebih dipilih ketimbang = + 
+ 
).
= + + lebih dipilih ketimbang = + + ).
Mengapa atau bahkan apakah aturan-aturan ini sengaja dipilih, kita tidak akan dapat menentukannya.
Contoh 1.
Sebagai ilustrasi dari perkalian dengan pecahan, mari kita cari hasil kali dari 2 + dan 1 + 
+ . Perhatikan bahwa penggandaan 1 + + akan menghasilkan 3 + , yang akan ditulis oleh para matematikawan Mesir sebagai 3 + + 
. Prosesnya dapat disusun seperti berikut.
dan 1 + + . Perhatikan bahwa penggandaan 1 + + akan menghasilkan 3 + , yang akan ditulis oleh para matematikawan Mesir sebagai 3 + + . Prosesnya dapat disusun seperti berikut.
1 1 + +
+
ü 2 3 + +
+
ü 
+ +
+ +
Jumlah 2 + 3 + + +
3 + + +
Para matematikawan tahu bahwa dua kali dari pecahan satuan 
Jadalah satuan pecahan , jadi jawabannya akan ditulis sebagai 3 + + + .
Jadalah satuan pecahan , jadi jawabannya akan ditulis sebagai 3 + + + .
Contoh 2.
Untuk pembagian lebih sulit yang melibatkan pecahan-pecahan, mari kita lihat sebuah perhitungan Permasalahan 33 dalam Papirus Rhind. Yang dibutuhkan di sini untuk membagi 37 oleh 1 + 
+ + . Dalam bentuk standar pembagian Mesir, perhitungannya dimulai:
+ + . Dalam bentuk standar pembagian Mesir, perhitungannya dimulai:
1 1 + + +
+ +
2 4 + + +
+ +
dengan nilai untuk y ditulis sebagai 4- + j^ . Sekarang jumlah 36 + -fr + T + i sudah mendekati 37. Tinggal berapa lagi kekurangannya? Atau seperti yang akan disebutkan oleh penulisnya, "Apakah yang melengkapi -| + 1 + i hingga mencapai 1?" Pada notasi modern, merupakan hal yang penting untuk mendapatkan pecahan x sehingga diperoleh atau dengan permasalahan yang dinyatakan dengan cara yang berbeda, pembilang y dicari agar dapat memenuhi
di mana penyebut 84 adalah faktor persekuruan terkecil dari penyebut-penyebut 3, 4, dan 28. Dengan mengalikan kedua sisi persamaan terakhir ini dengan 84 akan menghasilkan 56 + 21 + 3 + y = 84, sehingga diperoleh y = 4. Dengan demikian, sisa yang harus dijumlahkan dengan -| + J- + -— agar mencapai 1 adalah -~r, atau Jr. Langkah selanjutnya adalah menentukan berapa jumlah yang harus dikalikan dengan 1 + ^ + j + j untuk rnemperoleh Jr yang dibutuhkan. Ini berarti mencari penyelesaian untuk z dalam persamaan
— 1 "" 2T '
Dengan mengalikannya dengan 42 akan menghasilkan 91 z = 2 atau z = •&?, yang oleh penulis Mesir ketahui sama dengan -=L + —L + _L. Dengan demikian, keseluruhan perhitungan akan berlanjut seperti berikut ini.
3. Menampilkan Bilangan-bilangan Rasional
Terdapat beberapa cara modern untuk memperluas sebuah pecahan yang pembilangnya selain 2 sebagai jumlah dari pecahan-pecahan satuan. Misalkan kita ingin memperluas —^. Karena 9=1+4-2, salah satu caranya
adalah dengan mengubah -r menjadi
__ _
13 13
Pecahan A dapat diuraikan dengan menggunakan tabel ^ dan hasi!-
hi-silnya dikumpulkan untuk menghasilkan jumlah pecahan-pecahan satuan tanpa pengulangan:
Apa yang membuat contoh ini bekerja adalah karena penyebut-penyebutnya 8, 52, dan 104 bilangan-biiangan yang habis dibagi 4. Kita mungkin tidak akan selalu beruntung seperti itu.
Meski kita sebaiknya tidak melakukan cara seperti itu, dapat dibuktikan bahwa tiap bilangan rasional positif adalah bilangan yang dapat ditunjukkan sebagai jumlah terhingga dari pecahan-pecahan satuan yang berbeda. Dua langkah sistematis akan melengkapi penguraian ini; kita bisa sebut cara ini sebagai metode splitting (pemisahan) dan metode Fibonacci. Metode pemisahan didasarkan pada apa yang biasa disebut identitas pemisahan
yang memungkinkan bag] kita untuk mengganti salah satu pecahan satuan dengan jumlah dari dua yang lainnya. Misalnya, untuk menguraikan A
pertama-tama kita tulis
dan kemudian pisahkan salah satu pecahan -^ menjadi —r + -<o~jn sehingga diperoleh
Sekali lagi, pada kasus ji-, metode ini akan memulai dengan
dengan demikian,
dan memisahkan masing-masing dari dua pecahan satuan yang terakhir menjadi -j- + j-L-;
Terdapat beberapa jalan terbuka bagi kita pada langkah ini. Dengan tidak memperhatikan penyederhanaan-penyederhanaan yang jelas seperti ^ = |
dan -i = y^-, marilah kita pisahlcan 4- dan A menjadi penjumlahan J dan jr + 5QTT. secara berturutan, untuk sampai pada
penguramn
Secara umum, metodenya adalah sebagai berikut. Mulailah dengan pecahan -^, pertama-tama tulislah
Sekarang gunakan identitas pemisah untuk mengganti contoh-contoh m - 1 dari pecahan satuan -^ dengan
Lanjutkan dengan cara ini. Pada tahap selanjutnya, identitas pemisah, digunakan pada
tiap tahapan, jumlah tersebut dapat menunjukkan bahwa pada akhirnya proses ini akan hilang.
Metode kedua yang mungkin kita gunakan terkait dengan matematikawan asal Italia pada abad ketiga belas Leonardo dari Pisa, yang lebih dikenal dengan nama patronimiknya, Fibonacci. Pada tahun 1202, Fibonnaci mempublikasikan suatu algoritma untuk
Meskipun banyaknya pecahan satuan (tampak seperti pengulangan) terus bertambah pada
mengekspresikan bilangan rasional mana pun antara 0 dan 1 sebagai jumlah dari pecahan-pecahan satuan berbeda; hal ini ditemukan kembali dan diteliti secara lebih mendalam oleh J. J. Sylvester pada tahun 1880. Gagasannya seperti yang
diuraikan berikut ini. Misalkan pecahan -~ diketahui, di mana 0 < -f < 1.
b b
Langkah pertama yang dilakukan adalah mencari bilangan bulat n\ yang mernenuhi
atau apapun yang menghasilkan jumlah yang sama, tentukanlah n, dengan satu cara di mana n\ - I < ^ < n\. Ketidaksamaan ini menunjukkan bahwa
n\a - a < b < n\a, di mana n,a - b < a. Kurangi j- oleh 4- dan tunjukkan seiisihnya sebagai sebuah pecahan, sehingga hasil yang diperoleh adalah -r-:
Hasil ini memungkinkan kita untuk menulis •£ sebagai
Hal yang harus diperhatikan adalah bahwa a\ = n,a - b < a. Dengan kata-kata Jain, pembilang a, dari pecahan baru ini lebih kecil daripada pembilang a yang berasal dari pecahan aslinya.
Jika a\ = 1, maka tidak lag) yang perlu dilakukan. Jika tidak, ulangi proses0 tersebut dengan menggunakan-^- tetapi sekarang gunakan peranan -•
untuk memperoleh
sampai pada pecahan ~ di mana ak = ]; karena deret
yang benar-benar menurun seperti 1 < a/, < a^\ < ••• < a\ < a tidak dapat berlanjut secara terus-menerus. Oleh karena itu, representasi j- yang
diinginkan dapat dicapai, dengan menggunakan
tiap langkah berturutan, penyebut dari pecahan sisanya mengecil. Pada akhirnya kita harus
Mari kita uji beberapa contoh yang mengilustrasikan metode Fibonacci.
Contoh 3.
Misalkan ~ = -&. Untuk mencari n\, perhatikan bahwa 9 < ^ < 10,
dan juga -Ar < rs < ^ '•> dengan demikian, n\ = 10. Pengurangan yang dlilakukan akan menghasilkan
Contoh 4.
Untuk ilustrasi yang lebih meyakinkan, coba kita ubah pecahan % = -ft
sekali lagi. Membagi 9 menjadi 13, salah satunya akan diperoleh 1 < ^~- < 2, selanjutnya diperoleh 4- < -^ < 1; dengan demikian, n\ = 2. Ini berarti bahwa pecahan satuan pertama dalam penguraian ^ adalah 4. Sekarang
Seperti yang diharapkan, penyebut pada pecahan sisa lebih kecil dari penyebut pada pecahan awal; yaitu, 5 < 9. Sekarang ulangi proses tersebut dengan pecahan ~. Karena 5 <-^ < 6, kita peroleh i < ^ < T n-i = 6. Dengan melakukan perhitungan dihasilkan
Matematika Mesir pada dasarnya "bersifat penjumlahan," artinya bahwa kecenderungan
sebagai jumlah dari pecahan-pecahan satuan adalah metode splitting (pemisahan) dan metode
Fibonacci.
matematikanya adalah menurunkan perkalian dan pembagian menjadi penjumlahan berulang. Perkalian dari dua bilangan dapat diselesaikan dengan cara menggandakan secara berturutan salah satu dari bilangan tersebut dan kemudian menambahkan pengulangan yang sesuai untuk memperoleh hasilkalinya.
Metode pengalian dengan cara menggandakan dan menjumlahkan dapat bekerja baik karena setiap bilangan bulat (positif) dapat ditunjukkan sebagai jumlah pangkat berbeda dari 2; yaitu, seperti jumlah suku-suku dari barisan, 1,2,4, 8, 16, 32,....
Pembagian yang dilakukan oleh bangsa Mesir dapat dijelaskan sebagai proses perkalian yang dibalikkan—pembaginya digunakan secara berulang untuk memperoleh hasilbaginya.
Saat matematikawan Mesir menghitung dengan pecahan, dia hanya menggunakan apa yang disebut sebagai pecahan-pecahan satuan; yaitu,
pecahan-pecahan dengan bentuk -^ , di mana n adalah bilangan asli.
DAFTAR PUSTAKA
Burton, D. M. (2007). The History of Mathematics. An Introduction. New York : Mc Graw – Hill.
Cumo, S (2001). Ancient Mathematics. New York: Rout Ledge.
Menniger, K (1992) Number Words and Number Symbols : A Cultural
History of number. Cambridge, Mass: M. I. T. Press (Dover reprint, 1992)
Robins,. G. Olan Shute, C. (1990). The Rhind Mathematical Papyrus : An Ancient Egyptian Text. New York: Dover.
